[Signal Processing] 연속시간 푸리에급수

푸리에급수 : 주기함수 -> 삼각함수의 급수로 표현

                     모든 주기함수 -> 진폭, 주파수가 다른 정현파들의 급수로 표현

예시 : $$x(t)=sin(2\pi \ast 1t)+1/3sin(2\pi \ast 3t)+1/5sin(2\pi \ast 5t)$$

 

 연속시간 푸리에급수(CTFS) : 연속시간 주기신호들의 합성

출처 : 파이썬으로 배우는 신호처리

위의 표에서 x1(t)와 x2(t), 그리고 x3(t)을 모두 더한 그래프는 맨 위에있는 그래프이며, 마지막 그래프는 각 주파수에 대한 값들을 그래프로 그린 내용이다.

즉 연속시간 주기신호들을 합성하여 특정한 신호를 그래프로 그릴 수 있으며 이 그래프를 푸리에 급수를 통해 확인하게 되면 각 주파수마다의 Mgnitude와 주파수를 확인할 수 있다.

 

삼각함수에 의한 연속시간 푸리에급수

연속시간 주기신호의 푸리에급수 -> 삼각함수식으로 일반화 가능

$$x=a_0+\sum _{k=1}^{}{a}_{k}cos(k{w}_{0}t)+\sum _{k=1}{b}_{k}sin(k{w}_{0}t)$$

$$a_k=2/T{\int }_T^{}x(t)cos(k{w}_{0}t)dt$$

$$b_k=2/T{\int }_T^{}x(t)sin(k{w}_{0}t)dt$$

$$w_0=2\pi f_0$$ 

 

기저신호 : 푸리에 급수를 구성하는 각 항의 신호, 기저신호 이용한 정현파신호는 기본주파수 f의 정수배인 고조파신호

--> 고조파신호끼리 직교하는 성질

 

복소지수에 의한 연속시간 푸리에급수

오일러공식을 이용하여 정현파 신호에 대입해보자.

$$\sum _{k=1}^{}{a}_{k}cos(k{w}_{o}t)+\sum _{k=1}^{}{b}_{k}sin(k{w}_{o}t)=\sum c_k{e}^{jk{w}_{0}t}+\sum c_k{e}^{-jk{w}_{0}t}$$

$$x(t)=\sum c_k{e}^{jk{w}_{0}t}$$

 

$$c_k=1/t{\int }_T^{}x(t)e^{-jk{w}_{0}t}dt=1/T{\int }_{T}x(t)e^{-j2\pi f_{0}t}dt$$

출처 : 파이썬으로 배우는 신호처리

 

즉 C의 값과 x에 값은 정현파 신호를 통해 오일러 공식에 대입하여 복소지수로서 표현이 가능하다.

또한 이 값들은 주기 f0을 일정한 간격으로 가지고 있는 선스펙트럼 형식으로 표현이 가능하다.